单元刚度矩阵中的kij代表什么？

在翻阅一些经典有限元教材^[1]时，看到了一个知识点，也回答了我之前没有搞清楚的知识点，即：单元刚度矩阵中的 $k_{ij}$ 代表什么？

以前对此类概念不求甚解，只知道会用就行，现在沉下心来，再次回味经典教材时，看到这些零碎的知识点，赶紧记录下来，防止遗忘。

概念理解

废话不多说，进入正题。如下图所示为一维弹簧单元示意图：

一维弹簧单元示意图

弹簧的刚度方程：

\left[ \begin{array}{c} f_{1x}\\ f_{2x}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} k_{11}& k_{12}\\ k_{21}& k_{22}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \end{array} \right]

今天所要记录的就是该刚度矩阵中的某一项，如 $k_{12}$ 代表什么意思？

书中原文解释：

kij represent the force Fi in the ith degree of freedom due to a unit displacement dj in the jth degree of freedom while all other displacements are zero.

翻译：kij表示第i个自由度单位位移dj产生的第i个自由度力Fi，而其他所有位移均为零

比如 $k_{12}$ ，代表的是单元第1个自由度上的单位位移，产生的第1个自由度的力 $F_1$ ，此时其他的的自由度均为0，即，除了1自由度位移不为0，其他自由度位移全为0的情况下， $F_1=k_{12}$ 。

资料获取

本文参考的文献为2022年刚出版的《First Course in the Finite Element Method》,彩色高清印刷，排版精美，已经是第 $n$ 次印刷了，若想要了解有限元整体框架，木木强烈大家在有时间的时候翻阅浏览该经典教材！

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First Course in the Finite Element Method